Грубая структура

Грубая структура на множестве $X$ в математических областях геометрии и топологии — это набор подмножеств декартового произведения $X\times X$ с определёнными свойствами, которые позволяют определить крупномасштабную структуру метрических пространств и топологических пространств.

В традиционной геометрии и топологии внимание уделяется мелкомасштабной структуре пространства: такие свойства, как непрерывность функции, зависят от того, являются ли обратные образы малых открытых множеств, или окрестностей, сами открытыми. Крупномасштабные свойства пространства — такие как ограниченность или степени свободы пространства — не зависят от таких особенностей. Грубая геометрия и грубая топология предоставляют инструменты для измерения крупномасштабных свойств пространства, и так же, как метрика или топология содержат информацию о мелкомасштабной структуре пространства, грубая структура содержит информацию о его крупномасштабных свойствах.

В правильном смысле грубая структура — это не крупномасштабный аналог топологической структуры, а равномерная структура.

Определение

Грубая структура на множестве $X$ является коллекцией $\mathbf {E}$ подмножеств из $X\times X$ (поэтому подпадает под более общую классификацию бинарных отношений на $X$), называемых управляемыми множествами, таких, что $\mathbf {E}$ обладает отношением тождественности, замкнуто относительно взятия подмножества, обратного элемента и конечного объединения, а также замкнуто на композиции отношений. В явном виде:

1. Тождественность/диагональ:

   Диагональ $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ является членом $\mathbf {E}$—отношения тождественности.

2. Замкнуто относительно взятия подмножества:

   Если $E\in \mathbf {E}$ и $F\subseteq E,$ тогда $F\in \mathbf {E} .$

3. Замкнуто относительно обратного элемента:

   Если $E\in \mathbf {E}$, тогда обратная величина (или транспонирование) $E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}$ является членом $\mathbf {E}$—обратного отношения.

4. Замкнуто на объединении:

   Если $E,F\in \mathbf {E}$, тогда их объединение $E\cup F$ является членом $\mathbf {E} .$

5. Замкнуто на композиции:

   Если $E,F\in \mathbf {E}$, тогда их композиция $E\circ F=\{(x,y)$ : существует такой $z\in X$, что $(x,z)\in E{\text{ и }}(z,y)\in F\}$ являются членами $\mathbf {E}$— композиции элементов.

Множество $X$, наделённое грубой структурой $\mathbf {E}$, является грубым пространством.

Для подмножества $K$ из $X,$ множество $E[K]$ определяется как $\{x\in X:(x,k)\in E$ для некоторого $k\in K\}$. Определим разбиение $E$ на $x$ как множество $E[\{x\}],$ также обозначается $E_{x}.$ Символ $E^{y}$ обозначает множество $E^{-1}[\{y\}].$ Это виды проекций.

Подмножество $B$ из $X$ называется ограниченным, если $B\times B$ — управляемое множество.

Управляемое множество

Управляемые множества — это «малые» множества, или «пренебрежимо малые множества»: множество $A$ такое, что $A\times A$ является управляемым, а функция $f:X\to X$, такая что её график управляем, «близка» к тождественной. В ограниченной грубой структуре эти множества — ограниченные множества, а функции, которые находятся на конечном расстоянии от тождества, это равномерная метрика.

Грубые отображения

Учитывая множество $S$ и грубую структуру $X$, мы говорим, что отображения $f:S\to X$ и $g:S\to X$ замкнутые, если $\{(f(s),g(s)):s\in S\}$ — управляемое множество.

Для грубых структур $X$ и $Y$ мы говорим, что $f:X\to Y$ — это грубое отображение, если для каждого ограниченного множества $B$ из $Y$ множество $f^{-1}(B)$ ограниченно в $X$ и для каждого управляемого множества $E$ в $X$ множество $(f\times f)(E)$ управляемо в $Y$. $X$ и $Y$ называются грубо эквивалентными, если существуют их грубые отображения $f:X\to Y$ и $g:Y\to X$, такие что $f\circ g$ близко к $\operatorname {id} _{Y}$ и $g\circ f$ близко к $\operatorname {id} _{X}.$

Примеры

• Ограниченная грубая структура на метрическом пространстве $(X,d)$ — это совокупность $\mathbf {E}$ всех подмножеств $E$ из $X\times X$ таких, что $\sup _{(x,y)\in E}d(x,y)$ конечно. При такой структуре целочисленная решётка $\mathbb {Z} ^{n}$ грубо эквивалентна $n$-мерному Евклидову пространству.
• Пространство $X$, в котором $X\times X$ является управляемым, называется ограниченным пространством. Такое пространство грубо эквивалентно точке. Метрическое пространство с ограниченной грубой структурой является ограниченным (как грубое пространство) тогда и только тогда, когда оно ограничено (как метрическое пространство).
• Тривиальная грубая структура состоит только из диагонали и ее подмножеств. В этой структуре отображение является грубой эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является биекцией (множеств).
• $C_{0}$ грубой структуры на метрическом пространстве $(X,d)$ — это совокупность всех подмножеств $E$ из $X\times X$ таких, что для всех $\varepsilon >0$ существует компакт $K$ из $E$ такой, что $d(x,y)<\varepsilon$ для всех $(x,y)\in E\setminus K\times K.$ С другой стороны, совокупность всех подмножеств $E$ из $X\times X$ таких, что $\{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}$ является компактом.
• Дискретная грубая структура на множестве $X$ состоит из диагонали $\Delta$ вместе с подмножествами $E$ из $X\times X$, которые содержат конечное число точек $(x,y)$ вне диагонали.
• Если $X$ — топологическое пространство, то индискретная грубая структура на $X$ состоит из всех правильных подмножеств $X\times X$, то есть всех подмножеств $E$ таких, что $E[K]$ и $E^{-1}[K]$ относительно компактны, когда $K$ относительно компактно.

Ссылки

• John Roe, Lectures in Coarse Geometry, University Lecture Series Vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Corrections to Lectures in Coarse Geometry
• Roe, John (июнь–июль 2006). "What is...a Coarse Space?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 53 (6): 669. Дата обращения: 2 декабря 2023. {{cite journal}}: Проверьте значение даты: |date= (справка)